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堆(heap)又被为优先队列(priority queue)。尽管名为优先队列,但堆并不是队列。回忆一下,在中,我们可以进行的限定操作是dequeue和enqueue。dequeue是按照进入队列的先后顺序来取出元素。而在堆中,我们不是按照元素进入队列的先后顺序取出元素的,而是按照元素的优先级取出元素。
这就好像候机的时候,无论谁先到达候机厅,总是头等舱的乘客先登机,然后是商务舱的乘客,最后是经济舱的乘客。每个乘客都有头等舱、商务舱、经济舱三种个键值(key)中的一个。头等舱->商务舱->经济舱依次享有从高到低的优先级。
再比如,封建社会的等级制度,也是一个堆。在这个堆中,国王、贵族、骑士和农民是从高到低的优先级。
封建等级
Linux内核中的调度器(scheduler)会按照各个进程的优先级来安排CPU执行哪一个进程。计算机中通常有多个进程,每个进程有不同的优先级(该优先级的计算会综合多个因素,比如进程所需要耗费的时间,进程已经等待的时间,用户的优先级,用户设定的进程优先程度等等)。内核会找到优先级最高的进程,并执行。如果有优先级更高的进程被提交,那么调度器会转而安排该进程运行。优先级比较低的进程则会等待。“堆”是实现调度器的理想数据结构。
(Linux中可以使用nice命令来影响进程的优先级)
堆的一个经典的实现是完全二叉树(complete binary tree)。这样实现的堆成为二叉堆(binary heap)。
完全二叉树是增加了限定条件的二叉树。假设一个二叉树的深度为n。为了满足完全二叉树的要求,该二叉树的前n-1层必须填满,第n层也必须按照从左到右的顺序被填满,比如下图:
为了实现堆的操作,我们额外增加一个要求: 任意节点的优先级不小于它的子节点。如果在上图中,设定小的元素值享有高的优先级,那么上图就符合该要求。
这类似于“叠罗汉”。叠罗汉最重要的一点,就是让体重大的参与者站在最下面,让体重小的参与者站在上面 (体重小,优先级高)。为了让“堆”稳固,我们每次只允许最上面的参与者退出堆。也就是,每次取出的优先级最高的元素。
三个“叠罗汉”堆
我已经在中实际使用了堆。堆的主要操作是插入和删除最小元素(元素值本身为优先级键值,小元素享有高优先级)。在插入或者删除操作之后,我们必须保持该实现应有的性质: 1. 完全二叉树 2. 每个节点值都小于或等于它的子节点。
在插入操作的时候,会破坏上述堆的性质,所以需要进行名为percolate_up的操作,以进行恢复。新插入的节点new放在完全二叉树最后的位置,再和父节点比较。如果new节点比父节点小,那么交换两者。交换之后,继续和新的父节点比较…… 直到new节点不比父节点小,或者new节点成为根节点。这样得到的树,就恢复了堆的性质。
我们插入节点2:
插入
删除操作只能删除根节点。根节点删除后,我们会有两个子树,我们需要基于它们重构堆。进行percolate_down的操作: 让最后一个节点last成为新的节点,从而构成一个新的二叉树。再将last节点不断的和子节点比较。如果last节点比两个子节点中小的那一个大,则和该子节点交换。直到last节点不大于任一子节点都小,或者last节点成为叶节点。
删除根节点1。如图:
删除根节点
代码实现:
public class HeapSort { /** * @param args */ public static void heapSort(int[] array){ buildHeap(array); int n = array.length; int i = 0; for(i = n - 1; i >= 1;i--){ swap(array, 0 ,i); sink(array, 0, i); } } public static void buildHeap(int[] array){ int n = array.length; for(int i = n/2 - 1; i >= 0; i--) { sink(array, i , n); } } public static void sink(int[] array, int node, int n){ int left = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; int largest = 0; if(left < n && array[left] > array[node]){ largest = left; } else{ largest = node; } if(right < n && array[right] > array[largest]){ largest = right; } if(largest != node){ swap(array, largest, node); sink(array, largest, n); } } public static void swap(int[] array, int i, int j){ int temp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = temp; }}
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